TDay
3diag.png

Rozważanym tu zagadnieniem jest wyznaczanie postaci wielomianu charakterystycznego dla macierzy trójdiagonalnej samych jedynek (z jedynkami na trójdiagonali). Niech $\bold{III_n}$ oznacza taką macierz wymiaru $n$.
$p_nt):=\det(t\bold{I}-\bold{III_n})$
$p_1t)=t-1$
$p_2(t)=(t-1)(t-1)-1=t^2-2t$
$p_3(t)=(t-1)p_2(t)-p_1(t)$
Mamy ogólną zależność rekurencyjną:
$p_n(t)=(t-1)p_{n-1}(t)-p_{n-2}(t)$
Nas jednak będzie interesować metoda minorów głównych. Na początek warto odnotować następującą zależność

$\det\bold{III_1}=1$
$\det\bold{III_2}=0$
$\det\bold{III_3}=-1$
$\det\bold{III_{3n+1}}=(-1)^n$
$\det\bold{III_{3n+2}}=0$
$\det\bold{III_{3n+3}}=(-1)^{n+1}$

$\bold{III_{n_1}}\oplus\bold{III_{n_2}}\oplus\dots\oplus\bold{III_{n_r}}$

redukcja.png

Przykład dla $\bold{III_7}$:

przykl1a.pngprzykl1b.png(1)
\begin{equation} p_7(t)=t^7-7t^6+15t^5-5t^4-15t^3+9t^2+3t-1 \end{equation}

Ja dostałem zgodność z zależnością rekurencyjną. Na dziś koniec, bo spać mi się chce…

O ile nie zaznaczono inaczej, treść tej strony objęta jest licencją Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License